Цели и задачи работы

После выполнения этой практической работы вы должны:

• Уметь применять метод хорд вручную — считать 3–4 итерации на бумаге.
• Уметь применять метод Ньютона вручную — с производной и без неё.
• Реализовать оба метода на Python с визуализацией итераций.
• Сравнить скорость сходимости бисекции, хорд и Ньютона на одном уравнении.
• Понимать, когда какой метод выбирать.

Краткий теоретический справочник

Перед началом работы освежим формулы и алгоритмы.

Метод хорд

Если на концах отрезка [a, b] функция имеет разные знаки, новое приближение корня:

c = a − f(a) · (b − a) / (f(b) − f(a))

Затем сужаем отрезок: [a, c] или [c, b] — где функция меняет знак.

Метод Ньютона (касательных)

Итерационная формула:

xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) / f'(xₙ)

Нужна производная f'(x). Если её сложно найти, используют численную производную: f'(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h).

Критерий остановки

Для обоих методов: |xₙ₊₁ − xₙ| < ε или |f(xₙ)| < ε.

Варианты заданий

Преподаватель выдаёт вам один из шести вариантов. Для каждого варианта указаны функция, её производная и отрезок локализации.

Как выглядят методы на графике

Прежде чем писать код, посмотрите на рисунок. Здесь на одном графике показаны стратегии трёх методов для поиска одного и того же корня.

Рисунок 1. Бисекция идёт «шаг за шагом», хорда — прямолинейно, Ньютон — почти сразу в цель

Задание №1. Ручной расчёт методом хорд

Выполните 3 итерации метода хорд для своего варианта на бумаге. Записывайте все промежуточные значения — они пойдут в отчёт.

Алгоритм

1. Проверьте локализацию: f(a) · f(b) < 0.
2. Вычислите c по формуле хорды.
3. Определите знак f(c) и замените тот конец отрезка, с которым знак совпал.
4. Повторите 3 раза.

Пример для варианта 1: x³ − x − 1 = 0 на [1, 2]

Задание №2. Ручной расчёт методом Ньютона

Для того же уравнения сделайте 3 итерации метода Ньютона. Сравните с заданием №1 — насколько быстрее?

Пример для варианта 1: x³ − x − 1 = 0, производная 3x² − 1

Стартуем с x₀ = 1 (конец отрезка, где f(1) = −1).

Задание №3. Программирование метода хорд

Реализуйте метод хорд на Python. Замените функцию и отрезок на свой вариант.

def f(x):
    """ВАШ ВАРИАНТ. Пример для варианта 1."""
    return x**3 - x - 1

def chord_method(a, b, epsilon, max_iter=100):
    """Метод хорд. Возвращает (корень, число шагов)."""
    if f(a) * f(b) >= 0:
        raise ValueError("f(a) и f(b) одного знака!")

    step = 0
    while step < max_iter:
        c = a - f(a) * (b - a) / (f(b) - f(a))
        step += 1
        print(f"Шаг {step:2d}: c = {c:.10f}, f(c) = {f(c):+.3e}")

        if abs(f(c)) < epsilon or abs(b - a) < epsilon:
            return c, step

        if f(a) * f(c) < 0:
            b = c
        else:
            a = c

    return (a + b) / 2, step

# Запуск для варианта 1
root, steps = chord_method(1, 2, 1e-6)
print(f"\n🎯 Корень: x ≈ {root:.10f}")
print(f"Шагов: {steps}")
print(f"Проверка: f(x) = {f(root):.2e}")

Задание №4. Программирование метода Ньютона

Реализуйте метод Ньютона. Нужна производная — она указана в таблице вариантов.

def f(x):
    return x**3 - x - 1          # ВАШ ВАРИАНТ

def df(x):
    return 3*x**2 - 1            # ВАШ ВАРИАНТ

def newton_method(x0, epsilon, max_iter=50):
    """Метод Ньютона. Возвращает (корень, число шагов)."""
    x = x0
    for n in range(max_iter):
        fx = f(x)
        dfx = df(x)

        if abs(dfx) < 1e-12:
            print("⚠️ Производная близка к нулю!")
            return None, n

        x_new = x - fx / dfx
        print(f"Шаг {n+1:2d}: x = {x_new:.10f}, f(x) = {f(x_new):+.3e}")

        if abs(x_new - x) < epsilon:
            return x_new, n + 1
        x = x_new

    return x, max_iter

# Запуск для варианта 1
root, steps = newton_method(1.0, 1e-6)
print(f"\n🎯 Корень: x ≈ {root:.10f}")
print(f"Шагов: {steps}")
print(f"Проверка: f(x) = {f(root):.2e}")

Задание со звёздочкой

Реализуйте метод Ньютона без аналитической производной, используя численную:

def df_numeric(x, h=1e-7):
    return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)

Замените df(x) на df_numeric(x) и убедитесь, что корень тот же. Сколько шагов добавилось?

Задание №5. Визуализация метода Ньютона

Постройте график функции и покажите на нём, как метод Ньютона «прыгает» к корню.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
    return x**3 - x - 1          # ВАШ ВАРИАНТ

def df(x):
    return 3*x**2 - 1            # ВАШ ВАРИАНТ

# Массив точек для кривой
x_curve = np.linspace(0.5, 2.5, 400)
y_curve = f(x_curve)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x_curve, y_curve, 'b-', linewidth=2, label='f(x)')
plt.axhline(0, color='black', linewidth=1)

# Итерации Ньютона
x = 1.0
points_x, points_y = [x], [f(x)]
for _ in range(5):
    x = x - f(x) / df(x)
    points_x.append(x)
    points_y.append(f(x))

# Рисуем касательные
for i in range(len(points_x) - 1):
    x0, y0 = points_x[i], points_y[i]
    slope = df(x0)
    x_line = np.array([x0 - 0.3, x0 + 0.3])
    y_line = y0 + slope * (x_line - x0)
    plt.plot(x_line, y_line, 'r--', alpha=0.5, linewidth=1)

# Точки старта и корня
plt.plot(points_x[0], points_y[0], 'go', markersize=10, label='старт')
plt.plot(points_x[-1], points_y[-1], 'r*', markersize=15, label='корень')

plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend()
plt.title('Метод Ньютона: касательные ведут к корню')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.show()

Задание №6. Сравнение трёх методов

Самое интересное: запустите все три метода на одном уравнении и сравните их скорость.

import time

def bisection(f, a, b, eps, max_iter=200):
    steps = 0
    while abs(b - a) > eps and steps < max_iter:
        c = (a + b) / 2
        steps += 1
        if f(a) * f(c) < 0:
            b = c
        else:
            a = c
    return (a + b) / 2, steps

# --- замеряем время ---
results = {}

t0 = time.perf_counter()
root, steps = bisection(f, 1, 2, 1e-6)
results['Бисекция'] = (root, steps, time.perf_counter() - t0)

t0 = time.perf_counter()
root, steps = chord_method(1, 2, 1e-6)
results['Хорды'] = (root, steps, time.perf_counter() - t0)

t0 = time.perf_counter()
root, steps = newton_method(1.0, 1e-6)
results['Ньютон'] = (root, steps, time.perf_counter() - t0)

print(f"\n{'Метод':<12} {'Корень':<16} {'Шагов':<8} {'Время (мкс)':<12}")
print("-" * 50)
for name, (r, s, t) in results.items():
    print(f"{name:<12} {r:<16.10f} {s:<8} {t*1e6:<12.1f}")

Таблица для отчёта

Инструкция по оформлению отчёта

Следуйте чек-листу, чтобы работа была принята с первого раза:

1. Титульный лист: ФИО, группа, номер и название практической работы.
2. Цель работы: скопируйте со слайда 2.
3. Задание 1 (хорды вручную): таблица с 3 итерациями + вывод.
4. Задание 2 (Ньютон вручную): таблица с 3 итерациями + сравнение с заданием 1.
5. Задание 3 (код хорд): скриншот консоли + исходный код.
6. Задание 4 (код Ньютона): скриншоты для аналитической и численной производной + вывод.
7. Задание 5 (график): скриншот графика с траекторией Ньютона.
8. Задание 6 (сравнение): заполненная таблица + текстовый вывод: какой метод быстрее и почему.
9. Приложение: полный исходный код всех программ.

Типичные ошибки и как их избежать

• ❌ Метод Ньютона «разбегается» (числа становятся огромными).
  ✅ Причина: плохое начальное приближение или производная близка к нулю. Выберите тот конец отрезка, где f(x) и f''(x) одного знака.
• ❌ Программа зависла.
  ✅ Причина: нет ограничения max_iter. Всегда ставьте лимит итераций.
• ❌ Деление на ноль в методе Ньютона.
  ✅ Причина: df(x) == 0 в какой-то точке. Добавьте проверку if abs(df(x)) < 1e-12.
• ❌ Отрезок [a, b] с одинаковыми знаками на концах.
  ✅ Причина: метод хорд просто не запустится. Всегда проверяйте f(a) * f(b) < 0.
• ❌ Сравнение float через ==.
  ✅ Решение: используйте abs(x_new - x) < eps.
• ❌ Ошибка в производной.
  ✅ Решение: сверьтесь с таблицей вариантов или проверьте численно: df_numeric(x) ≈ df(x).